קיץ 2024 מועד א (שאלון 472) – שאלה 1סדרות 571 · שיעור 32
קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1
שיעור 32: קיץ 2024 מועד א (שאלון 472) – שאלה 1
פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון
3סעיף ב – הקרון האמצעי
4סעיף ג – הקרונות האי־זוגיים
5סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו?
📄 נוסח השאלה
לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר הנוסעים בקרון האחרון היה גדול פי 3 ממספר הנוסעים בקרון הראשון. ביום זה מספר הנוסעים ברכבת היה 220 סך הכול.
א. מצאו כמה נוסעים היו בקרון הראשון.
ב. מצאו כמה נוסעים היו בקרון האמצעי.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו כמה נוסעים סך הכול היו בקרונות האי־זוגיים (בקרון הראשון, השלישי, החמישי וכן הלאה).
ביום ב' מספר הנוסעים ברכבת היה גדול פי 2 ממספר הנוסעים בה ביום א' ולכן הוחלט להוסיף קרונות לרכבת. ביום ב', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול ב־3 ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. ביום זה היו בקרון הראשון 5 נוסעים.
ד. מצאו את מספר הקרונות שהוסיפו לרכבת ביום ב'.
סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון
כל קרון גדול במספר קבוע מהקודם – זו סדרה חשבונית עם 11 איברים. נתון: a11 = 3a1 ו־S11 = 220.
S11 = 112 · (a1 + a11)
📐 סכום סדרה חשבונית
112 · (a1 + 3a1) = 220
112 · 4a1 = 220
22a1 = 220
a1 = 22022 = 10
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2 · (a1 + an)
סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון · המשך
a1 = 22022 = 10
נמצא גם את ההפרש (נצטרך אותו בהמשך):
a11 = 3 · 10 = 30
a11 = a1 + 10d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
10 + 10d = 30 10d = 20 d = 2
✅ פתרון סופי: 10 נוסעים
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ב – הקרון האמצעי
ב־11 קרונות, האמצעי הוא הקרון השישי (5 לפניו ו־5 אחריו).
a6 = a1 + 5d = 10 + 5 · 2 = 20
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
בדיקה: הסכום שווה למספר האיברים כפול האיבר האמצעי: 11 · 20 = 220 ✓
✅ פתרון סופי: 20 נוסעים
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ג – הקרונות האי־זוגיים
הקרונות 1, 3, 5, 7, 9, 11 – 6 קרונות. בין שני קרונות כאלה יש קפיצה של שני מקומות, ולכן ההפרש ביניהם 2d = 4. גם זו סדרה חשבונית:
10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30
S6 = 62 · (10 + 30) = 3 · 40 = 120
📐 סכום סדרה חשבונית
✅ פתרון סופי: 120 נוסעים
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2 · (a1 + an)
סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו?
ביום ב' היו פי 2 נוסעים: 2 · 220 = 440. הסדרה החדשה: b1 = 5 , d = 3, ומספר הקרונות n לא ידוע.
Sn = n2 · (2 · 5 + (n − 1) · 3) = 440
📐 סכום סדרה חשבונית
n2 · (10 + 3n − 3) = 440
n2 · (3n + 7) = 440
כופלים את שני האגפים ב־2:
n(3n + 7) = 880
📐 סכום סדרה חשבונית
Sn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו? · המשך
n(3n + 7) = 880
3n2 + 7n − 880 = 0
n = −7 ± √(72 − 4 · 3 · (−880))2 · 3
📐 נוסחת השורשים
72 + 4 · 3 · 880 = 49 + 10,560 = 10,609 , √10,609 = 103
n = −7 + 1036 = 966 = 16 (הפתרון השני שלילי – נפסל)
בדיקה: S16 = 8 · (10 + 45) = 8 · 55 = 440 ✓
📐 נוסחת השורשים
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו? · המשך
בדיקה: S16 = 8 · (10 + 45) = 8 · 55 = 440 ✓
16 − 11 = 5
✅ פתרון סופי: הוסיפו 5 קרונות
📌 סיכום התשובות
סעיף א
10 נוסעים
סעיף ב
20 נוסעים
סעיף ג
120 נוסעים
סעיף ד
5 קרונות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא